BAB 4
METODE CONTROL VOLUME UNTUK MASALAH DIFUSI
4.1.Pendahuluan
Selain dengan menggunakan governing equations, fenomena perpindahan fluida dapat diselesaikan dengan metode finite volume (control volume) dengan meng-asumsikan bahwa seluruh proses perpindahan fluida terjadi secara difusi pada keadaan tunak. Persamaan untuk difusi pada perpindahan fluida adalah sebagai berikut:
(4.1)Dengan Ø adalah fraksi massa.
Integrasi volume kendali akan menghasilkan:
(4.2)Untuk mendapatkan solusi dari persamaan di atas, diperlukan teknik aproksimasi. Maka persamaan di atas disebut dengan persmaan diskritisasi.
4.2.Metode Control Volume Untuk Difusi Satu Dimensi-Keadaan Tunak
Proses difusi satu dimensi didefinisikan sebagai:
(4.3)
Dengan Γ adalah koefisien difusi, S adalah sumber, dan Ø merupakan fraksi massa dengan batas-batas yaitu titik A dan B sudah ditentukan. Proses diskritisasi pada proses difusi satu dimensi ditinjukkan pada gambar 4.1
Gambar 4.1 ( W = west; P =point; E = east)
Proses difusi satu dimensi dapat diselesaikan dalam beberapa tahap, yaitu:
Langkah I : Pembuatan Grid
Langkah pertama pada metode control volume adalah membagi domain menjadi control volume diskrit. Bagi batas antara A dan B menjadi beberapa titik nodal. Boundary dari control volume berada pada perbatasan antara 2 titik nodal. Boundary ini terdapat pada setiap titik nodal. Berdasarkan teknik di atas, maka dapat dikembangkan metode CFD menurut gambar 4.2
Gambar 4.2
Titik P merupakan titik nodal umum, dan titk nodal sebelah kiri dan kanan direpresentasikan sebagai W dan E. Sisi barat dari volume kendali didefiniskan sebagai w dan sisi timur dari volume kendali didefinisikan sebagai e. Jarak antara W dan P, dan antara P dan E di-identifikasikan sebagai δXWP dan δXPE. Sama halnya dengan jarak pada volume kendali antara face w dan P, dan antara face P dan e dinotasikan sebagai δxwP dan δxPe. Maka ∆x = δxwe
Langkah II: Diskritisasi
Sesuai dengan metode volume kendali, maka governing equation lalu diintegrasikan berdasarkan volume kendali untuk menghasilkan persamaan diskrit pada titik nodal P. Berdasarkan persamaan kendali:
(4.4)Dengan A merupakan luas penampang dari sisi volume kendali, ∆V merupakan volume, dan Ś merupakan nilai rata-rata dari sumber S pada volume kendali. Untuk mengkalkulasi gradient dØ/dx pada sisi volume kendali (e dan w), digunakan aproksimasi liner dengan menggunakan karakteristik yang ada, yaitu Γ.
(4.5a)
(4.5b)
Fluks difusi ditulis sebagai
(4.6)
(4.7)
Pada keadaan actual, sumber S mungkin merupakan funhgsi dari variable terikat. Pada beberapa kasus, metode volume kendali mengaproksimasikan S sebagai rata-rata dari bentuk linear:
(4.8)
Subtitusi persamaan (4.6(, (4.7), dan (4.8) akan menghasilkan:
(4.9)
Jika disusun ulang:
(4.10)
Dengan memisalkan koefisien ØW dan ØE sebagai aW dan aE, dan koefisien ØP sebagai aP, maka persamaan (4.10) dapat dituliskan sebagai:
(4.11)
Dimana
Langkah III: Solusi persamaan
Untuk mempermudah menyelesaikan persamaan, dapat digunakan bentuk matriks
4.3.Metode Control Volume Untuk Difusi Dua Dimensi-Keadaan Tunak
Untuk menyelesaikan persoalan pada difusi dua dimensi, metodologi pada persoalan satu dimensi dapat dengan mudah dikembangkan. Persamaan untuk difusi dua dimensi keadaan tunak yaitu;
(4.12)
Persoalan difusi yang diselesaikan dengan metode volume kendali menggunakan basis grid. Tentunya, grid yang digunakan pada persoalan satu dimensi akan berbeda dengan grid yang digunakan pada persoalan dua dimensi.
Gambar 4.3
Secara prinsip, grid untuk persoalan dua dimensi sama dengan grid pada satu dimensi. Namun, jika pada persoalan satu dimensi hanya terdapat sisi barat (W) dan timur (E), pada persoalan dua dimensi, terdapat tambahan berupa utara (N) dan selatan (S).
Maka persamaan diskrit untuk persoalan difusi dua dimensi-keadaan tunak:
(4.13)
Dengan mengasumsikan bahwa Ae = Aw = ∆y dan An = As = ∆x;
(4.15)
Seperti pada persoalan satu dimensi, persamaan ini merepresentasikan nilai Ø pada volume kendali dan fluks yang melaluinya. Dengan menggunakan aproksimasi, maka fluks yang melalui volume kendali:
(4.15a)
(4.15b)
(4.15c)
(4.15d)
Dengan melakukan subtitusi, maka akan didapatkan persamaan:
(4.16)
Karena sumber S merupakan bentuk linear dari , maka persamaan dapat dituliskan menjadi:
(4.17)
Dengan memisalkan koefisien-koefisien dalam bentuk a, maka persamaan menjadi:
Dimana:
4.4.Metode Control Volume Untuk Difusi Tiga Dimensi-Keadaan Tunak
Untuk persoalan difusi tiga dimensi-keadaan tunak, governing equation:
(4.18)
Maka grid yang akan digunakan juag merupakan bentuk tiga dimensi, dengan volume kendali:
Secara prinsip, grid untuk persoalan dua dimensi sama dengan grid pada satu dimensi. Namun, jika pada persoalan satu dimensi hanya terdapat sisi barat (W) dan timur (E), pada persoalan tiga dimensi, terdapat tambahan berupa utara (N), selatan (S), atas (T), dan bawah (B). Seperti halnya pada kasus satu dan dua dimensi, notasi w, e, s, n , t, dan b merujuk pada arah barat, timur, utara, selatan, atas, dan bawah.
Integrasi terhadap governing equation akan menghasilkan:
(4.19)
Seperti pada persoalan satu dimensi dan dua dimensi, persamaan ini merepresentasikan nilai Ø pada volume kendali dan fluks yang melaluinya. Dengan menggunakan aproksimasi, maka fluks yang melalui volume kendali:
(4.20)
Dengan memisalkan koefisien-koefisien dalam bentuk a, maka persamaan menjadi:
Dimana:
